01. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

1 Ας ξαναθυμηθούμε

1.1 1. Πραγματικοί Αριθμοί: Ρητοί και Άρρητοι

Το σύστημα των πραγματικών αριθμών (\(\mathbb{R}\)) περιλαμβάνει όλους τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.

• Ρητοί αριθμοί (\(\mathbb{Q}\)): Είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν στη μορφή κλάσματος \(\dfrac{a}{β}\), όπου \(a\) και \(β\) είναι ακέραιοι και \(β \neq 0\). Περιλαμβάνουν:
  • Τους ακεραίους (\(\mathbb{Z}\)), καθώς μπορούν να γραφτούν με παρονομαστή το 1.
  • Τους δεκαδικούς αριθμούς που έχουν τέλος (πεπερασμένοι) ή είναι περιοδικοί.
• Άρρητοι αριθμοί (\(\mathbb{Q}'\)): Είναι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα ακεραίων. Οι δεκαδικοί τους εκφράσεις συνεχίζονται επ’ άπειρον χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος κύκλος ψηφίων (μη περιοδικοί). Παραδείγματα αποτελούν οι αριθμοί \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\) και ο αριθμός \(\pi\).
• Απόλυτη τιμή: Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού εκφράζει την απόστασή του από το μηδέν και είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός (π.χ. \(|-3| = 3\)).

---

1.1.1 Οι πράξεις

Οι πράξεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (\(\mathbb{R}\)), ακολουθούν συγκεκριμένους κανόνες και ιδιότητες που είναι θεμελιώδεις για τα μαθηματικά της Γ’ Γυμνασίου.

1.1.2 Βασικές Πράξεις και Κανόνες Προσήμων

Οι τέσσερις βασικές πράξεις εκτελούνται με βάση τους παρακάτω κανόνες:

• Πρόσθεση:
  • Ομόσημοι αριθμοί: Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε στο αποτέλεσμα το κοινό τους πρόσημο (π.χ. \(+7 + 5 = +12\) και \(-7 - 5 = -12\)).
  • Ετερόσημοι αριθμοί: Αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή (π.χ. \(+5 - 7 = -2\)).
• Αφαίρεση: Η αφαίρεση ορίζεται ως η πρόσθεση του μειωτέου με τον αντίθετο του αφαιρετέου (\(\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)\)).
• Πολλαπλασιασμός: Πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές. Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι, το γινόμενο είναι θετικό (\(+\)), ενώ αν είναι ετερόσημοι, είναι αρνητικό (\(-\)).
• Διαίρεση: Για να διαιρέσουμε δύο αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη (\(\alpha : \beta = \alpha \cdot \frac{1}{\beta}\)), με την προϋπόθεση ότι ο διαιρέτης \(\beta \neq 0\).

1.1.3 Ιδιότητες των πράξεων

Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1. Αντιμεταθετική: \(\alpha + \beta = \beta + \alpha\) και \(\alpha\beta = \beta\alpha\).
2. Προσεταιριστική: \(\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma\) και \(\alpha(\beta\gamma) = (\alpha\beta)\gamma\).
3. Επιμεριστική: \(\alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma\). Η ιδιότητα αυτή είναι το βασικό εργαλείο για την απαλοιφή παρενθέσεων και την παραγοντοποίηση.
4. Ουδέτερο Στοιχείο: Το \(0\) για την πρόσθεση (\(\alpha + 0 = \alpha\)) και το \(1\) για τον πολλαπλασιασμό (\(\alpha \cdot 1 = \alpha\)).
5. Ύπαρξη Αντιθέτου/Αντίστροφου:
   • Κάθε αριθμός \(\alpha\) έχει έναν αντίθετο \(-\alpha\) ώστε \(\alpha + (-\alpha) = 0\).
   • Κάθε αριθμός \(\alpha \neq 0\) έχει έναν αντίστροφο \(\frac{1}{\alpha}\) ώστε \(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1\).

Ιδιότητα	Πρόσθεση	Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική	\(α+β=β+α\)	\(α\cdotβ=β\cdotα\)
Προσεταιριστική	\(α+(β+γ)=(α+β)+γ\)	\(α(β\cdotγ)=(α\cdotβ)γ\)
Ουδέτερο στοιχείο	\(α+0=0+α=α\) το μηδέν είναι ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση	\(α\cdot1=1\cdotα=α\) το 1 είναι ουδέτερο στοιχείο για τον πολλαπλασιασμό
	\(α+(-α)=0\) α και -α αντίθετοι	\(α\cdot\dfrac{1}{α}=1\) α και \(\dfrac{1}{α}\) αντίστροφοι
Επιμεριστική	\(α(β+γ)=α\cdotβ+α\cdotγ\)

1.2 Οι ιδιότητες των δυνάμεων με βάση έναν πραγματικό αριθμό \(\alpha\) και εκθέτη ακέραιο αριθμό

είναι θεμελιώδεις για την απλοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων και την εκτέλεση πράξεων.

1.2.1 Ορισμοί και Βασικές Έννοιες

• Δύναμη: Για έναν πραγματικό αριθμό \(\alpha\) και έναν φυσικό αριθμό \(\nu \geq 2\), η δύναμη \(\alpha^\nu\) ορίζεται ως το γινόμενο \(\nu\) παραγόντων ίσων με τον αριθμό \(\alpha\).
• Ειδικές περιπτώσεις:
  • \(\alpha^1 = \alpha\).
  • \(\alpha^0 = 1\) (με την προϋπόθεση \(\alpha \neq 0\)).
• Αρνητικός εκθέτης: Η δύναμη με αρνητικό εκθέτη ορίζεται μέσω του αντιστρόφου της βάσης: \(\alpha^{-\nu} = \frac{1}{\alpha^\nu}\) (όπου \(\alpha \neq 0\)).

1.2.2 Θεμελιώδεις Ιδιότητες των Δυνάμεων

Οι ιδιότητες αυτές ισχύουν εφόσον ορίζονται οι αντίστοιχες δυνάμεις και διευκολύνουν τους υπολογισμούς:

Ιδιότητα	Τύπος	Παράδειγμα
Γινόμενο δυνάμεων με ίδια βάση	\(\alpha^\mu \cdot \alpha^\nu = \alpha^{\mu+\nu}\)	\(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\)
Πηλίκο δυνάμεων με ίδια βάση	\(\frac{\alpha^\mu}{\alpha^\nu} = \alpha^{\mu-\nu}\)	\(3^5 : 3^3 = 3^2\)
Γινόμενο δυνάμεων με ίδιο εκθέτη	\((\alpha \beta)^\nu = \alpha^\nu \beta^\nu\)	\((2x)^2 = 4x^2\)
Πηλίκο δυνάμεων με ίδιο εκθέτη	\((\frac{\alpha}{\beta})^\nu = \frac{\alpha^\nu}{\beta^\nu}\)	\((\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}\)
Δύναμη σε δύναμη	\((\alpha^\mu)^\nu = \alpha^{\mu \cdot \nu}\)	\((2^{-3})^{-2} = 2^6 = 64\)
Δύναμη κλάσματος με αρνητικό εκθέτη	\((\frac{\alpha}{\beta})^{-\nu} = (\frac{\beta}{\alpha})^\nu\)	\((\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^4\)

1.2.3 Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Περιορισμοί: Οι ιδιότητες των δυνάμεων ισχύουν μόνο στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Δεν ισχύουν στην πρόσθεση και την αφαίρεση (π.χ. \((\alpha+\beta)^\nu \neq \alpha^\nu + \beta^\nu\)).
2. Κανόνες Προσήμων:
   • Όταν η βάση είναι αρνητική και κλεισμένη σε παρένθεση:
     • Αν ο εκθέτης είναι άρτιος, το αποτέλεσμα είναι θετικό (π.χ. \((-3)^2 = 9\)).
     • Αν ο εκθέτης είναι περιττός, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό.
   • Αν δεν υπάρχει παρένθεση, η δύναμη επενεργεί μόνο στον αριθμό και όχι στο πρόσημο (π.χ. \(-3^2 = -9\)).
3. Προτεραιότητα: Κατά την εκτέλεση πράξεων σε μια μαθηματική παράσταση, οι δυνάμεις υπολογίζονται πρώτες, πριν από τους πολλαπλασιασμούς, τις διαιρέσεις, τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

1.3 Η τετραγωνική ρίζα και οι ιδιότητές της

αποτελούν βασικό εργαλείο για την επίλυση αλγεβρικών παραστάσεων και εξισώσεων.

1.3.1 Ορισμός και Περιορισμοί

• Ορισμός: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού \(x\) (συμβολίζεται με \(\sqrt{x}\)) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό \(x\). Για παράδειγμα, \(\sqrt{25} = 5\), επειδή \(5^2 = 25\).
• Περιορισμός: Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, καθώς το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι πάντα μη αρνητικό.

1.3.2 Θεμελιώδεις Ιδιότητες

Οι ιδιότητες των ριζών επιτρέπουν τη σύμπτυξη ή το «σπάσιμο» παραστάσεων υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις:

1. Γινόμενο Ριζών: Η ρίζα ενός γινομένου ισούται με το γινόμενο των επιμέρους ριζών: \(\sqrt{\alpha \cdot \beta} = \sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta}\) (για \(\alpha, \beta \geq 0\)).
2. Πηλίκο Ριζών: Η ρίζα ενός πηλίκου ισούται με το πηλίκο των ριζών: \(\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}\) (για \(\alpha \geq 0\) και \(\beta > 0\)).
3. Δύναμη και Ρίζα:
   • Αν \(x \geq 0\), τότε \((\sqrt{x})^2 = x\).
   • Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \(x\), ισχύει \(\sqrt{x^2} = |x|\) (απόλυτη τιμή). Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό, π.χ. \(\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5\).

1.3.3 Σημαντικές Παρατηρήσεις

• Πρόσθεση και Αφαίρεση: Οι ιδιότητες των ριζών δεν ισχύουν στην πρόσθεση και την αφαίρεση. Δηλαδή, \(\sqrt{\alpha + \beta} \neq \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\).
• Όμοια Ριζικά: Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ρίζες μόνο όταν είναι «όμοιες», δηλαδή έχουν το ίδιο υπόριζο, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα, \(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).

1.3.4 Τεχνικές Απλοποίησης

• Μεταφορά παράγοντα εκτός ρίζας: Αναλύουμε το υπόριζο σε γινόμενο όπου ένας παράγοντας είναι τέλειο τετράγωνο. Ισχύει ο τύπος \(\sqrt{\alpha^2 \cdot \beta} = \alpha\sqrt{\beta}\). Παράδειγμα: \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\).
• Απαλοιφή ρίζας από τον παρονομαστή (Ρητοποίηση):
  • Για κλάσματα της μορφής \(\frac{k}{\sqrt{\alpha}}\), πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη \(\sqrt{\alpha}\).
  • Για κλάσματα με παρονομαστή της μορφής \(\sqrt{\alpha} + \beta\), πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση (\(\sqrt{\alpha} - \beta\)), ώστε να δημιουργηθεί διαφορά τετραγώνων και να φύγει η ρίζα.

1.3.5 Άρρητοι Αριθμοί

Οι ρίζες φυσικών αριθμών που δεν είναι τέλεια τετράγωνα (όπως οι \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\)) είναι άρρητοι αριθμοί. Η δεκαδική τους μορφή έχει άπειρα ψηφία χωρίς επαναλαμβανόμενο μοτίβο (περίοδο).

1.4 Προτεραιότητα των Πράξεων

Όταν μια μαθηματική παράσταση περιλαμβάνει πολλές πράξεις, η σειρά εκτέλεσης είναι η εξής:

1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.
2. Υπολογισμός δυνάμεων και ριζών.
3. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις.
4. Προσθέσεις και αφαιρέσεις.

1.5 Διάταξη και Σύγκριση

Οι πράξεις συνδέονται άμεσα με τη διάταξη. Ένας αριθμός \(\alpha\) είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό \(\beta\) (\(\alpha > \beta\)) αν η διαφορά τους \(\alpha - \beta\) είναι θετική. Κατά τον πολλαπλασιασμό μιας ανισότητας με αρνητικό αριθμό, η φορά της ανισότητας αλλάζει.

1.6 Ερωτήσεις Κατανόησης

1. Σωστό ή Λάθος: Κάθε ακέραιος αριθμός είναι και φυσικός αριθμός; (Λάθος, π.χ. το \(-3\)).

2. Σωστό ή Λάθος: Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος; (Σωστό).

3. Χαρακτηρίστε τον αριθμό \(\sqrt{-9}\) ως πραγματικό, μη πραγματικό ή απροσδιόριστο. (Μη πραγματικός/Φανταστικός).

4. Είναι ο αριθμός \(\dfrac{22}{7}\) ρητός ή άρρητος; (Ρητός, καθώς είναι κλάσμα ακεραίων).

5. Η διαφορά δύο φυσικών αριθμών είναι πάντα φυσικός αροθμός; (Όχι, π.χ. \(100 - 400 = -300\), που δεν είναι φυσικός).

6. Το πηλίκο δύο ακεραίων είναι πάντα ακέραιος;

7. Ο αριθμός \(0,\overset-{9}\) είναι ρητός;

8. Ο αριθμός \(0,34828282.....\) είναι ρητός;

9. Ο αριθμός \(45,78901235643......\) είναι ρητός;

10. Ο αριθμός \(\sqrt{5}\) είναι άρρητος;

11. Ο αριθμός \(\sqrt{8}\) είναι άρρητος;

12. Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε εχουν γινόμενο μηδέν;

13. Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε έχουν γινόμενο 1;

14. Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε έχουν άθροισμα 0;

15. Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε εχουν άθροισμα μηδέν;

16. Οι αριθμοί \((-4)^5\) και \(-4^5\) είναι αντίθετοι;

17. Οι αριθμοί \(\left(\dfrac{2}{5}\right) ^3\) και \(\left(\dfrac{5}{3}\right)^3\) είναι αντίστροφοι;

18. Ο αριθμός \(-(-8)^2\) είναι θετικός;

19. Ο αριθμός \(-3^{-2}\) είναι θετικός;

20. Ο αριθμός \((-3)^{-2}\) είναι αρνητικός;

---

1.7 Ασκήσεις (Εμπλοκή όλων των πράξεων)

1. Πρόσθεση/Αφαίρεση: Υπολογίστε την τιμή: \(-2 + 5 - 3\).

2. Απόλυτη Τιμή: Υπολογίστε το αποτέλεσμα: \(-3 + 4 - |-5|\).

3. Προτεραιότητα Πράξεων: Βρείτε την τιμή της παράστασης: \((-3) - (-5) \cdot (+4)\).

4. Δυνάμεις: Υπολογίστε: \((-3)^3 + (-5)^2 - (-1)^4\).

5. Διαίρεση & Δυνάμεις: Βρείτε το πηλίκο: \((-5) : (-4 + 3)^2\).

6. Ρίζες & Αφαίρεση: Υπολογίστε την παράσταση: \(\sqrt{81} - \sqrt{\frac{27}{3}}\).

7. Ρίζες & Πολλαπλασιασμός: Υπολογίστε το γινόμενο: \(\sqrt{81} \cdot \sqrt{16}\).

8. Γινόμενο παράσταση: Εκτελέστε την πράξη: \((2 - 3^3)(2 + 2^4+7)\).

9. Αθροίσματα δυνάμεων: Αναπτύξτε και υπολογίστε: \(1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+7^2-8^2+9^2-10^2=\).

10. Σύνθετη Παράσταση: Κάντε τις πράξεις: \(\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} + \dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}\) (μετατροπή σε απλά κλάσματα και μετά ομώνυμα).

Βρείτε το αποτέλεσμα στις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις

11. \(-3 \cdot (-2) - 5 + 4 : (-2) - 6\)

12. \((-3) \cdot (-2) + 4 - (+5) - (-1) : (-1)\)

13. \(14 + (-6 + 5 - 3) - (-4 - 1) \cdot (-2)\)

14. \((-2)^2 \cdot (-3) + 2 \cdot 3^2 - 5^2 \cdot (-2) : 5 - 6\)

15. \((2 \cdot 5 - 3^2) + 2 \cdot (2^3 - 4) - 12 : (-3)\)

16. \(3 \cdot (-2)^2 + 4 - (-7)^0 \cdot 2 - 8 \cdot (2^{-1} - 1) - 2 \cdot 3^2\)

17. \((-4)^2 : 2 - 5 - (-3) \cdot 2^2 - (-2)^4\)

18. \((-4) - (-\dfrac{5}{3}) + (\dfrac{7}{2} - 4) - (\dfrac{5}{3} - 10) - (-\dfrac{4}{2}) \cdot (-\dfrac{5}{16})\)

19. \((3 - \dfrac{4}{6}) : (\dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4}) - (\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{4}) \cdot (\dfrac{1}{6} - \dfrac{8}{3}) : (\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}) \cdot (\dfrac{1}{8} - \dfrac{6}{8})\)

20. \(-(5 - 4) - (+2) + (-6 + 4) - (-7) + 4 - (-2 + 6 - 3)\)

1.8 Ασκήσεις με Ρίζες και Δυνάμεις

1. Υπολογισμός Παράστασης: Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \(A = 3 \cdot (-2)^2 + 4 - (-7)^0 \cdot 2 - 8 \cdot (2^{-1} - 1) - 2 \cdot 3^2\).
2. Απλοποίηση με Ρίζα και Τετράγωνο: Να υπολογίσετε το αποτέλεσμα της παράστασης \(\sqrt{(-5)^2} + (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5^2}\).
3. Μεταφορά Παράγοντα και Δυνάμεις: Να αποδείξετε την ισότητα: \(3\sqrt{2} - \sqrt{50} + \sqrt{32} - 6\sqrt{8} = -10\sqrt{2}\). (Σημείωση: Αναλύστε τα υπόριζα σε γινόμενα δυνάμεων του 2, π.χ. \(50 = 2 \cdot 5^2\)).
4. Σύνθετη Παράσταση με Δυνάμεις: Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \(B = (-4)^2 : 2 - 5 - (-3) \cdot 2^2 - (-2)^4\).
5. Συνδυασμός Ριζών και Κλασμάτων: Να υπολογίσετε την παράσταση: \(\sqrt{\dfrac{5}{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{5}{8}} - \sqrt{\dfrac{3}{7}} \cdot \sqrt{\dfrac{12}{7}}\).
6. Χρήση επιμεριστικής ιδιότητας: Να βρείτε το ανάπτυγμα της παράστασης \((\sqrt{3} + 1)\cdot(\sqrt{3} + 1)\) και να το συγκρίνετε με την τιμή \(4 + 2\sqrt{3}\).
7. Απλοποίηση Κλάσματος με Ρίζα: Να μετατρέψετε το κλάσμα \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\) σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή (ρητοποίηση).
8. Δυνάμεις και Ιδιότητες: Να γράψετε την παράσταση \(27 \cdot 3^4 \cdot \dfrac{1}{3^5}\) ως μία δύναμη με βάση το 3.
9. Πράξεις με Όμοια Ριζικά: Να απλοποιήσετε την παράσταση \(3\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2\sqrt{2}\) κάνοντας αναγωγή ομοίων όρων.
10. Σύνθετη Απλοποίηση Ριζών: Να απλοποιήσετε την παράσταση \(25\sqrt{12} \cdot \sqrt{75}\) αναλύοντας τα υπόριζα σε πρώτους παράγοντες (π.χ. \(12 = 2^2 \cdot 3\) και \(75 = 3 \cdot 5^2\)).

1.9 Σύντομες Οδηγίες για την Επίλυση

• Προτεραιότητα: Θυμηθείτε ότι οι δυνάμεις και οι ρίζες προηγούνται των άλλων πράξεων.
• Ιδιότητες: Χρησιμοποιήστε τον κανόνα \(\sqrt{x^2} = |x|\) όταν το τετράγωνο είναι μέσα στη ρίζα.
• Ανάλυση: Για να βγάλετε αριθμούς έξω από τη ρίζα, αναζητήστε ζευγάρια ίδιων παραγόντων (δυνάμεις με εκθέτη 2) κάτω από το ριζικό.

11. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(3^2 + \sqrt{16} \cdot (5 - 2)^2 - 10\)

12. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(2 \cdot \sqrt{25} + 4^3 : 8 - 3 \cdot 2^2\)

Βήματα λύσης

• 1. Υπολογίζουμε ρίζες και δυνάμεις: \(\sqrt{25} = 5\), \(4^3 = 64\), \(2^2 = 4\).
• 2. Η παράσταση γίνεται: \(2 \cdot 5 + 64 : 8 - 3 \cdot 4\).
• 3. Εκτελούμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις: \(10 + 8 - 12\).
• 4. Εκτελούμε τις πράξεις: \(18 - 12 = 6\).

13. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \((12 - \sqrt{4})^2 : 4 + 5^2 \cdot 2 - 10\)

14. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(\sqrt{100 - 36} + 3 \cdot (2^3 - 5) - 4^2\)

Βήματα λύσης

• 1. Υπολογίζουμε τη ρίζα (πρώτα την αφαίρεση μέσα): \(\sqrt{64} = 8\).
• 2. Υπολογίζουμε την παρένθεση: \((8 - 5) = 3\).
• 3. Υπολογίζουμε τη δύναμη: \(4^2 = 16\).
• 4. Η παράσταση γίνεται: \(8 + 3 \cdot 3 - 16\).
• 5. Πολλαπλασιασμός: \(8 + 9 - 16\).
• 6. Τελική πράξη: \(17 - 16 = 1\).

15. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(5^2 - \sqrt{81} \cdot 2 + (\dfrac{15}{3})^2 - 40\)

16. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(\sqrt{144} : 3 + 2^4 - (10 - 6) \cdot 2\)

17. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(3 \cdot \sqrt{100} - 2^3 \cdot 3 + 5^2 - 11\)

18. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \((6^2 - \sqrt{16}) : 4 + 3 \cdot 2^3 - 10\)

19. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(10^2 - \sqrt{121} \cdot 5 + 4^2 \cdot 2 - 50\)

20. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: \(2 \cdot (3^3 - \sqrt{49}) - 4 \cdot 5 + 10^0\)

Μόνο με ρίζες

1. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{5}\)

Βήματα λύσης

• 1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα με τέλεια τετράγωνα: \(\sqrt{4 \cdot 5} + \sqrt{9 \cdot 5} - \sqrt{5}\).
• 2. Βγάζουμε τους τετραγωνικούς παράγοντες έξω από τη ρίζα: \(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 1\sqrt{5}\).
• 3. Πραγματοποιούμε την πρόσθεση/αφαίρεση των ομοίων ριζικών: \((2 + 3 - 1)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\).

2. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt{8}\)

3. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\sqrt{75} + 2\sqrt{12} - \sqrt{27}\)

4. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\sqrt{32} + \sqrt{200} - \sqrt{72}\)

5. Απλοποιήστε την παράσταση: \(3\sqrt{80} - \sqrt{20} - \sqrt{5}\)

6. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\)

Βήματα λύσης

• 1. Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).
• 2. Εκτελούμε τη διαίρεση: \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\).
• 3. Προσθέτουμε τα αποτελέσματα: \(4 + 5 = 9\).

7. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} - \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\)

8. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\dfrac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{4}}\)

9. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}\)

10. Απλοποιήστε την παράσταση: \(\dfrac{\sqrt{48} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{9}} - \sqrt{64}\)

1.10 Προβλήματα

1. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει βάση \(β = 3 \cdot \sqrt{16} + 2^2\) cm και ύψος \(υ = \sqrt{25} + 5^0\) cm. Να βρείτε το εμβαδόν του.

2. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές \(a = \sqrt{100 - 36}\) cm και \(β = 2^3 : \sqrt{4}\) cm. Να βρείτε το εμβαδόν του.

3. Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο \(Π = 4 \cdot (\sqrt{81} + 2^2)\) cm. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου.

Λύση

• 1. Υπολογίζουμε την περίμετρο: \(Π = 4 \cdot (9 + 4) = 4 \cdot 13 = 52 \text{ cm}\).
• 2. Η πλευρά του τετραγώνου είναι \(α = \dfrac{Π}{4} = 13 \text{ cm}\).
• 3. Εμβαδόν \(E = α^2 = 13^2 = 169 \text{ cm}^2\).

4. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, η μία πλευρά είναι \(x = \sqrt{144} : 2\) cm και η άλλη είναι \(y = 3^2 - \sqrt{25}\) cm. Ποια είναι η περίμετρος του σχήματος;

5. Το εμβαδόν ενός κύβου δίνεται από τον τύπο \(E = 6 \cdot α^2\). Αν η ακμή του κύβου είναι \(α = \sqrt{49} - 2^2\) cm, βρείτε την ολική επιφάνεια του κύβου.

ΣυμβουλήΕνέργεια

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!